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お知らせ

 投稿者:φ  投稿日:2017年 5月13日(土)03時06分6秒
返信・引用
  話の半分が「確率」になる予定なので、
以下の「五月祭公開講座」を御案内させていただきます。↓
https://gogatsusai.jp/90/visitor/recm19.html
↑なにせ午前中なので申し訳ばかりの御案内となりますが。
なお、
内容の一部は発表済みです。↓
http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=3013 (日本語)
http://green.ap.teacup.com/miurat/html/jtla2017.pdf (英語)
↑批判対象にしたキース・デブリンと2往復半ほどメールをやりとりしましたが、
先方は新たな喩え話をむやみに繰り出しては「あなたは誤解している」と繰り返すのみで、議論にならず、唖然とさせられました。(基本的に私の指摘は的を射ているはずなので……)
数学の得意な方々による検証を希望します。
日本語訳も多い啓蒙家なのに、主観確率が全然わかってない……? 信じがたいことですが?
「数学者って意外とこんなに石頭?」という21日用のネタが手に入りはしましたが……
 
 

Re: 開封型の一例

 投稿者:通行人  投稿日:2017年 5月 2日(火)20時34分50秒
返信・引用
  > No.4686[元記事へ]

φさんへのお返事です。

> 通行人さんへのお返事です。
>
>  胴元自身が「5千円か2万円を、1万円で買わないか」と持ち掛けるんですか?
>  結論から言うと、その問題は数学の問題としては不備であり、2封筒問題とは異なりますね。
>

やはり変ですよね。
詳しいご解説ありがとうございました。
 

Re: 開封型の一例

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 5月 2日(火)19時12分53秒
返信・引用
  > No.4686[元記事へ]

φさんへのお返事です。

実は、「動的認識論理」が目的でこの本を買いました。

第11章までが、イントロになっているのですね。

 

Re: 開封型の一例

 投稿者:φ  投稿日:2017年 5月 2日(火)12時51分38秒
返信・引用
  > No.4685[元記事へ]

通行人さんへのお返事です。

 胴元自身が「5千円か2万円を、1万円で買わないか」と持ち掛けるんですか?
 結論から言うと、その問題は数学の問題としては不備であり、2封筒問題とは異なりますね。

 その問題を問題Sと呼びましょうか。
 文面からして、5千円か2万円を決めるのが故意であって、コイン投げのような偶然の手続きによらない、という設定なのでしょう。
 それだと、困ってしまいますね。胴元はカネを奪うつもりなのか、恵むつもりなのか。
 自由意思に対して確率を問う問題になってしまいます。「どうせ5千円に決まってる」とか。
 問題Sは心理学の問題なのか、認識論の問題なのか、数学の問題なのか不明になります。
 「何に答えさせようとしているかわからない問題」ですから、不備と言うべきでしょう。かりに数学の問題と割り切るにしても、計算問題でなく応用問題である以上、限度がありますからね。
 胴元の意図は考えなくてもよく、純粋に確率の問題なのだ、と分かるようにするためには、
 問題Sは、5千円か2万円かはコイン投げで決める、などと明記するべきでしょうね。

 2封筒問題と問題Sとの違いは、
 ★問題Sは、心理学問題ではなく数学の問題にするために、「金額ペアの他方はコイン投げで決める」と明記されねばならない。2封筒問題にはコイン投げ明記は不要★
 ということです。
 もともとの2封筒問題では、プレイヤーの選択によって偶然性が確保されていますから、「金額ペア偶然決定の明記」は不要なのです。

 2封筒問題で「(5千円、1万円)と(1万円、2万円)はそれぞれ確率1/2とは限らない」と主張する人たちは、
 問題S(文面からして胴元が意図的に金額を後決めするバージョン)と、2封筒問題を混同していると思われます。

 問題Sは、不備であり、胴元の意図が語られない限り答えられません。
 しかし、2封筒問題は問題Sとは違います。
 プレイヤーによる封筒選択はコイン投げ相当の効力を持ち、金額選択の自由意思によるバイアスは解除されています。

 開封して見た金額を特定しなければ(「A円」などと記されていれば)、「高額か低額か」の確率の期待値が1/2であることは数学的真であり、
 「1万円」は開封金額が特定されたランダムな一例ですから、確率の期待値1/2の例外ではあり得ません。
 1万円は例外だという人は、その理由を明示する必要がありますが、できないでしょう。

 問題Sの御提示ありがとうございました!
 「1/2否定派(確率不明派)」の誤謬の源がわかったような気がします。
 気づいていれば、『改訂版 可能世界の哲学』第7章に入れることができたのですが!


 ■追伸
 ご教示のお礼といえば、
 スターダストさんにお教えいただいた
 ハンス・ファン・ディトマーシュ、バーテルド・クーイ『100人の囚人と1個の電球』(日本評論社)を、
 『改訂版 可能世界の哲学』のブックガイドに収録しました。
 2封筒問題ゆえにではなく、第12章「動的認識論理の概要」が役立つ、という趣旨ですが。
 御教示どうもありがとうございました。
 

開封型の一例

 投稿者:通行人  投稿日:2017年 5月 2日(火)05時15分47秒
返信・引用
  こんにちは
開封型の2封筒問題ですが、封筒を開けて1万円を見たケースと言うのは、
胴元から
「この封筒には、5千円か2万円のどちらかが入っているよ。
これを1万円で買うか?」
と言われたのと同じ問題でしょうか?
 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月29日(土)04時33分55秒
返信・引用
  > No.4683[元記事へ]

TTTさんへのお返事です。

>
> 微修正後の
> 仮説A、Cを具体的に定めずに、事前確率を先に決めて、後から仮説A、Cの内容を適当に決める
> というやり方は意味不明ですね。
> 結局、何を前提としてるのでしょうか?
>

それほど奇妙な発想ではないと思いますが。

> 仮説A  P(6)=a
> 仮説B  P(6)=1/6
> 仮説C  P(6)=c

 としておけば、P(6|D)はa、c、nの関数となりますから、a、cを具体的数値で決めてしまうより一般性が得られるということです。
 そしてa、cはそれぞれ0、1に「極めて近い」値を想定しているので、実用的には、最後に0、1を当てはめてもよいのではないでしょうか。
 計算途中で不都合が生じないように(あるいは初期条件と最終結果との構造的関係がわかるように)、初期条件の特定の数値を文字にしておいて、計算が終わってから数値に戻す、ということは数学でよくなされるのではないかと思いますが。(そういうテクニックの名前は知りませんが)

>
> つまり、P(C)=P(A)/5を前提とする(あるいは大前提として目の可換性を仮定するなら)
> > P(6)の期待値が1/6になるように仮説A、B、Cの事前確率を決める
> などのように、事前分布の条件をわざわざ仮定する必要はなく、期待値は1/6と導出されるのです。
> (1投目の出目に対して一様分布を仮定する(理由不十分の原理を適用する)必要もないということ)
>

 目の可換性というのは、理由不十分の原理(私は「無差別の原理」と呼びたいですが)の特殊例にすぎませんね。
 どうしても、どこかで無差別原理のお世話になることになります。

>
> 6の目(や他の目についても)の出やすさとしてあり得る値が3種しかないことを前提とするならば
> その3種の値ら{0,1/6,1}に対して、仮説の事前分布が満たすべき条件は決定します(値らと仮説の事前分布の条件には対応関係がある)。
>

それはそのとおりでしょうが、

>
> a,cを未定のまま、仮説の事前確率を(しかも、修正前と同じものに)決定するのはナンセンスです。
>

 前も述べたように、ベイズ推定では出発点の事前確率の割り当てが多少いい加減であっても、データを得るたびに正確になっていって、出発点そのものの値はほとんど重要性を失うはずです。
 各仮説の事前確率が合計して1になっていさえすれば、{0、1/6、1}との論理的つじつまが合っていなくても、最終的にはつじつまが合っていくでしょう。ましてや、{a、1/6、c}とした場合は、最終的につじつまを合わせればよいでしょう。事前確率はどのみち修正されるべき素材にすぎませんから。

>
> 事前分布における目の可換性を前提とするならば
> その下でどのような条件の「各目の出やすさの事前分布」を「同じでないサイコロの分布」として仮定したとしても
> 1投目の出目の情報を得た時の2投目の出目の確率分布は、1投目と同じ目が出る確率が1/6より大きくなる
> とベイズ推定で導出されます。
>

 だから問題は、二百個のうち半数のサイコロはいい加減な作りの古典的サイコロ、半数のサイコロは、遠隔地の放射性元素の崩壊によってコントロールされている量子サイコロというような設定です。
 半数のサイコロは、各々の目の確率が厳密に1/6である。残り半数はそうでない。
 その設定のもとでは、手にしたサイコロの最初に出た目が次も出る確率xは、1/2の確率でx>1/6、1/2の確率でx=1/6となるはずです。
 P(x>1/6)=P(x=1/6)=1/2
この事前確率が、
 P(x>1/6)>P(x=1/6)
と合理的に修正されるべきなのは、あることGが成立する場合であり、その場合に限られる。
そのGとは何か答えよ、という問題です。
(最初に出た目を見た時点で、そのサイコロが量子サイコロでない確率が1/2を超えているための必要条件、ということです)
より正確に書けば、
 P(x>1/6|G)>P(x=1/6|G)
となるような必要十分条件Gを記述せよ。
 むろん、Gが「もう一度投げて同じ目が出る」であれば
P(x>1/6|G)>P(x=1/6|G)となるのは当然ですが、
Gとして「もう一度投げて同じ目が出ること」というのは不正解です。
なぜなら、「もう一度投げて同じ目が出ること」というGの記述は
 P(x>1/6|G)>P(x=1/6|G)の十分条件ですが、必要条件ではないからです。
 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:TTT  投稿日:2017年 4月26日(水)04時50分13秒
返信・引用
  > No.4682[元記事へ]

φさんへのお返事です。

前回までの中途半端な説明ではよくわかりませんでしたが、修正前でやりたいことはだいたい分かりました。

修正前を
> データしだいで確率ゼロになりかねず、仮説Bだけが生き残ることになっては不具合
と言っていますが、確かに極端なモデルではありますが
そもそも6の目の出やすさを、たった3つの仮説のうちのどれかだと前提にしてる時点で十分極端ですから
それに比べたら、1度でも異なる目が出たら仮説Bしか生き残らないというのは、それほど気にすることでも無いと思います。

修正前の前提(情報に依存しない仮説とその確率)は極端ではあるものの、私の認めるベイズ推定の一例となっている(前提と情報だけから事後確率が導出される)が
一方で、微修正後の
仮説A、Cを具体的に定めずに、事前確率を先に決めて、後から仮説A、Cの内容を適当に決める
というやり方は意味不明ですね。
結局、何を前提としてるのでしょうか?

結果(仮説Bだけが生き残ることはない)や過程(ベイズ改定の計算が簡単になりすぎない)を取り繕おうとしたのでしょうが
かえって理論の土台である前提が疎かになって、理論自体は崩壊してる(ベイズ推定でなくなってる)ように見えます。

極端を嫌うなら
> A、B、Cの間にいくつか仮説を設けておくのがよいでしょう
と修正前時に言っていたように、多数の候補を予め設けておくのが良いでしょう。



修正前で
> CはAの5分の1以下の確率であると考えるのが自然なので
とありますが
> P(1)=1、P(2)=1などを同確率と考えて
のように、事前分布における目の可換性(6の目について成立することは、同時に他の目でも同様に成立する)を前提とした下で

> 仮説A  P(6)=0
> 仮説B  P(6)=1/6
> 仮説C  P(6)=1

の3種の仮説しか考えないのであれば
Cの確率はAの確率の1/5未満ではなく、ちょうど1/5です(そう導出されます)。

この仮説A、B、Cの事前確率P(A),P(B),P(C)を考えると
P(C) = P(A)/5 なら P(B) = (5-6P(A))/5 となり
0≦P(B)≦1となることから、0≦P(A)≦5/6 と言えます。
つまり 0≦s≦5/6 となるsに対して

P(A) = s
P(B) = (5-6s)/5
P(C) = s/5

とすればこれは
とりあえずは(他の条件、例えば1投目に6が出る確率、すなわち1投目に6の目が出る出やすさの期待値が1/6になっているか等はさて置き)
仮説の事前確分布になります。

φさんの修正前の
> P(A)=5/36
> P(B)=30/36=5/6
> P(C)=1/36
というモデルは、このs=5/36の場合ですね。

sのまま6の目の出やすさの期待値を計算してみると
0×s + (1/6)×(5-6s)/5 + 1×(s/5) = 1/6
となり、実はsの具体値に依らず1投目に6が出る確率が1/6になることが確かめられます。

つまり、P(C)=P(A)/5を前提とする(あるいは大前提として目の可換性を仮定するなら)
> P(6)の期待値が1/6になるように仮説A、B、Cの事前確率を決める
などのように、事前分布の条件をわざわざ仮定する必要はなく、期待値は1/6と導出されるのです。
(1投目の出目に対して一様分布を仮定する(理由不十分の原理を適用する)必要もないということ)

逆にもしP(C)≠P(A)/5 (0<P(C)<P(A)/5)と仮定してしまうと
どんなにうまくP(A),P(B),P(C)設定しようと、6の出やすさの期待値≠1/6となってしまいます。


ちなみに
φさんが一例としてあげたs=5/36というモデルでは仮説Bの事前確率P(B)=5/6はそこそこ大きい値になっていますが
sがもっと大きいモデルを考えることもできます。
例えばs=5/7というモデルも一例となっていて、そのモデルでは仮説Bの事前確率はP(B)=1/7と小さい値となります。
初期設定の「どの目がどれだけ出やすいかわからない」に沿うのであれば
s(仮説の事前分布を決定する数)をどれくらいに見積もるべきかもわからないということですから
s=5/36というP(B)が大きいモデルよりも、s=5/7というP(B)が小さいモデルの方が適してる(あるいはその逆)等とは言えません。
よって
> 単に「どの目がどれだけ出やすいか分からない」くらいであれば、
> 6の事前確率1/6とする仮説の事前確率がもともと高いため
などということは言えないのです。


以上のように
6の目(や他の目についても)の出やすさとしてあり得る値が3種しかないことを前提とするならば
その3種の値ら{0,1/6,1}に対して、仮説の事前分布が満たすべき条件は決定します(値らと仮説の事前分布の条件には対応関係がある)。

従って、修正後のように
> 仮説A  P(6)=a
> 仮説B  P(6)=1/6
> 仮説C  P(6)=c
>
>  とし、事前確率は前回どおり
>
> P(A)=5/36
> P(B)=30/36=5/6
> P(C)=1/36

とa,cを未定のまま、仮説の事前確率を(しかも、修正前と同じものに)決定するのはナンセンスです。
仮に先に仮説の事前分布を決めるとしても、その時点で3種の値ら{a,1/6,c}が満たすべき条件もある程度は絞られますから
その時点でa,cを決めて(モデルを確定させて)しまえばいいのに、「後からa,cを決める」という前提が曖昧な方法を取る意味も不明です。



>  宿題
>  問7:どの目の出やすさも同じであるサイコロ百個と、同じでないサイコロ百個から、ランダムにひとつ選んで投げた。
>  そこで出た目が2投目も出る確率を、1/6よりも高く見積もることが合理的であるための、必要十分条件を述べよ。

事前分布における目の可換性を前提とするならば
その下でどのような条件の「各目の出やすさの事前分布」を「同じでないサイコロの分布」として仮定したとしても
1投目の出目の情報を得た時の2投目の出目の確率分布は、1投目と同じ目が出る確率が1/6より大きくなる
とベイズ推定で導出されます。

「合理的である」の意味や出題の意図がよく分からないので
自然な仮定である「目の可換性」がない「各目の出やすさの確率分布」すらも考えて必要十分条件を調べる意味はないと思うし
これ以上、条件を簡素に言い換えられるかは分かりません。

もし目の可換性を仮定しないのであれば
> P(1)=1、P(2)=1などを同確率と考えて
等とする理由もなく
情報を得る前の状況にも関わらず、目によって出やすさについて言えることが異なっていてもよい
(6の目の出やすさの期待値が1/6であるとするとしても、他の目の出やすさの期待値が1/6でなくてもいい)
となってしまいます。

 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月16日(日)17時53分14秒
返信・引用
  > No.4680[元記事へ]

φさんへのお返事です。

 前回ちょっと気にした理由により、微修正することにします。

>
>  以上のは簡略すぎて、6以外の目が1回でも出たらP(C|D)=0になってしまうので、前述のようにA、B、Cの間にいくつか仮説を設けておくのがよいでしょう。
>

 P(6)=0、P(6)=1 という仮説はデータしだいで確率ゼロになりかねず、仮説Bだけが生き残ることになっては不具合なので、
 ゼロにきわめて近い値a、1にきわめて近い値cをとって、(a、cの特定の値はまだ決めず)

仮説A  P(6)=a
仮説B  P(6)=1/6
仮説C  P(6)=c

 とし、事前確率は前回どおり

P(A)=5/36
P(B)=30/36=5/6
P(C)=1/36

このようにすれば、ただ一度のデータでAもしくはCが脱落することがなくなり、ベイズ改訂を普通に続けていける。

P(6|D)= a×P(A|D)+1/6×P(B|D)+c×P(C|D)

あとからa、cの値を適当に決めればよい。

 各仮説の事後確率から尤度の期待値を求めるという方針は前回と同じです。
 計算は機械的なので省略します。
 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月14日(金)02時38分43秒
返信・引用
  > No.4679[元記事へ]

TTTさんへのお返事です。



 ↓以下の問題については、「方針」は
すでにhttp://8044.teacup.com/miurat/bbs/4622と4646で書いた通りの路線です。
 そもそもこういう問題をどう扱うかというのは、数学者の間でコンセンサスがあるんでしょうか?
 どういう事前分布を採用するかとか。いろいろ種類があるようではありますが。
 ともあれ、前回は完全には書かなかったとも思うので、あれを延伸する形で「方針」を最後まで記しておくことにします。
 今回はとりあえずこれ、であって、一応さらにじっくり考えてみますが。

>
> 宿題
> 問4:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを5回投げたら、5回とも6の目が出た。このとき6投目も6が出る確率は?
> 問5:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを10回投げたら、10回とも6の目が出た。このとき11投目も6が出る確率は?
> 問6:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを100回投げたら、100回とも6の目が出た。このとき101投目も6が出る確率は?
>

 ↑
ベイズ推定はどのような事前確率から始めても、データが増えるにしたがって改訂を重ねることで結局同じ事後確率へ収束してゆくことが望めるので、まずは仮説と確率を適当に、以下のように定める。

仮説A  P(6)=0
仮説B  P(6)=1/6
仮説C  P(6)=1

 他に、P(6)=1/36、P(6)=1/2、等々、A、B、Cの間にいくつか仮説を配するのが望ましいだろうが、ここでは簡略化のためA、B、Cのみとする。
 データが増えれば結果に違いは生じないはずなので。

 次に、
 P(6)の期待値が1/6になるように仮説A、B、Cの事前確率を決める。
CはAの5分の1以下の確率であると考えるのが自然なので(P(1)=1、P(2)=1などを同確率と考えて)、とりあえず5分の1とし、以下のように事前確率を割り振るのが合理的(な一例)だろう。

P(A)=5/36
P(B)=30/36=5/6
P(C)=1/36

仮説A、B、Cに対する以上の評価により、
P(A)+P(B)+P(C)=1
E(P(6))=1/6
という事前確率分布が得られる。

6が続けてn回出たというデータをDとする。
 (以下、誤記があるかもしれないが本筋は伝わるでしょう)

P(A|D)=0
P(B|D)=P(D|B)P(B)/(P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C))
=((1/6)^n×(5/6))/((1/6)^n×(5/6)+1^n×1/36)
P(C|D)=P(D|C)P(C)/(P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C))
=(1^n×1/36)/((1/6)^n×(5/6)+1^n×1/36)

Dに条件づけたときの6が出る確率は、
P(A|D)とP(B|D)とP(C|D)をもとにしたP(6|D)の期待値を求めればよい。
すなわち、
P(6|A)×0+P(6|B)×((1/6)^n×(5/6))/((1/6)^n×(5/6)+1^n×1/36)+P(6|C)×(1^n×1/36)/((1/6)^n×(5/6)+1^n×1/36)
=0×0+1/6×((1/6)^n×(5/6))/((1/6)^n×(5/6)+1^n×1/36)+1×(1^n×1/36)/((1/6)^n×(5/6)+1^n×1/36)

以上が求める確率である。
 各仮説の事後確率から、尤度の期待値を求める方針です。
 ベイズ推定はある程度「いい加減」でうまくゆく、という前提に則っています。
 以上のは簡略すぎて、6以外の目が1回でも出たらP(C|D)=0になってしまうので、前述のようにA、B、Cの間にいくつか仮説を設けておくのがよいでしょう。

 と、こんなふうなものしか思いつきませんね。前回の拡張です。
 計算は普段やっていないのであまりやる気が出ません。反面、方針を述べるのは職業柄、不得意ではないので、ざっと以上のような感じで。
 まだ考えてはみて、思いついたら書き込みますが、当面は以上。
 ここまでのところでコメント有りましたらどうぞよろしく。

 最後にTTTさんにも宿題を差し上げましょう。

 宿題
問7:どの目の出やすさも同じであるサイコロ百個と、同じでないサイコロ百個から、ランダムにひとつ選んで投げた。そこで出た目が2投目も出る確率を、1/6よりも高く見積もることが合理的であるための、必要十分条件を述べよ。
 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:TTT  投稿日:2017年 4月13日(木)01時45分25秒
返信・引用
  > No.4646[元記事へ]

φさんへのお返事です。

> そんな保証は誰にもできません。
> 「コイン」と「環境要因」は分けて考えなければなりません。

実践というなら、コインに物理的な偏りがないことも普通、保証できませんよね。
実際に目の前のあるコインが物理的に偏りがないことを確かめるには通常困難です。
また、ライアーゲームに出てくるようなゲームやギャンブルにおける実践的な判断で
「コインに物理的な偏りなし」とするのはむしろ非常識で、「偏りがあるかも」と多少は疑うべきでしょう。

「環境要因」の偏りは考慮するが、「コイン」の物理的な偏りは考えない
という特殊な状況が、実践的だとはとても言えません。

「コイン」と「環境要因」、あとは例えばツキや流れなどの「オカルト要因」など
を一緒くたにして含めたものが「確率」ですから、確率の計算中に「コイン」と「環境要因」を区別する必要はありません。



> 問題文が「6が出る割合は平均から偏っているものとする」ではなく

> 単に「どの目がどれだけ出やすいか分からない」くらいであれば、
> 6の事前確率1/6とする仮説の事前確率がもともと高いため、容易にベイズ改訂されず、
> 少しくらい6が連続しても「偶然の揺らぎ」で説明でき、次が6になる確率は1/6のままというのが穏当な解答でしょう。

この部分は色々と謎ですね。単に「どの目がどれだけ出やすいか分からない」場合に
「ベイズ改定されず」「1/6のまま」というのは
「1/6から少ししか変動しない」という意味ではなくて、文字通り「1/6から全く変動なし」という意味でいいんですか?
だとしたら、何回連続で6が出たら、1/6から変動するのですか?(その回数はどういう計算で求めればいいのですか?)
もっと一般に、他の出目の出た回数とどれだけ差ができたら(あるいはどんな条件なら)1/6から変動するのでしょう?


φさんのベイズ確率観には共感できないことが多々ありますが
(というより、φさんがベイズ確率と呼ぶものの多くが、ベイズ確率ではない別の主観確率だと思っていますが)

> ベイズ推定では、間違いを覚悟で精一杯自然な推定をして、そこからどんどん確率判断を更新していくわけです

という理念に関しては、部分的に共感します。
しかし、ここでのφさんは
少ない回数で確率を1/6から改定するのは間違いかもしれないと恐れて(あるいは少ない回数なら改定するわけないと論点先取して)、確率判断の更新を渋っている
ように見えるというのが率直な印象です。

「どの目がどれだけ出やすいか分からない」という場合でも
少ない回数で6が連続するのは本当は(客観的には)「偶然の揺らぎ」かもしれないが
それでも間違いを覚悟で、「1回目に6が出たなら次に6が出る確率は1/6より大きくなる」「さらに2回目も6が出たなら、さらに大きくなる」…
と連続的に更新していく方が、上記の理念にも沿っていますし

> 他の目に比べ6が多く出れば出るほど、6が出る事前確率を高く見積もる仮説が確証されるのは当然

というφさんの主張とも整合性がとれているはずです。


「どの目がどれだけ出やすいか分からない」という場合でも
> 確率の確率を考える
とするなら
そのサイコロの6が出る確率が「1/6より大きい確率」「1/6ちょうどの確率」「1/6より小さい確率」
をそれぞれ考えることができ、「1回目に6が出た」という情報を得た場合
「1/6より大きい確率」は増加方向、「1/6より小さい確率」は減少方向に改定されるので
仮に「1/6ちょうどの確率」がもともと高かったとしても、全体として「6が出る確率」が増加方向に改定されます

よって
> 6の事前確率1/6とする仮説の事前確率がもともと高いため
というのは、ベイズ改定されない理由になっていません。

またそもそも、事前確率で「6が出る確率」が1/6であることからは、「6が出る確率が1/6ちょうどの確率」がもともと高いとは一般には言えません。
「6が出る確率」は「6が出る確率の確率の期待値」と理論的に同値ですが
例えば「サイコロの出目の期待値が3.5であることから、[3.5]の目(あるいは3.5に近い[3]や[4]の目)が出やすい」とは一般には言えないのと同様で
「6が出る確率の確率の期待値」が1/6ということから「6が出る確率の確率の最頻値」が1/6だとは導出されません。



宿題
問4:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを5回投げたら、5回とも6の目が出た。このとき6投目も6が出る確率は?
問5:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを10回投げたら、10回とも6の目が出た。このとき11投目も6が出る確率は?
問6:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを100回投げたら、100回とも6の目が出た。このとき101投目も6が出る確率は?

制限時間はとくに設けません(私の投稿ペースは遅いので、他の人への返信を優先させても構いません)
からゆっくり考えてみてください。

今回も必要な仮定と計算を明記して、具体的な数値を答えて欲しいのですが
具体的数値が求まる程の能力は期待できないのは分かりましたから
せめてどういう手順で具体的数値が求まるのかといった方針と
予想で構いませんから、どのくらいの数値になるのかを書いてください
(大雑把な根拠があればそれを併せて。根拠が全くないならそう明記した上で勘で答えてもいいです)。


φさんからしたら、封筒問題「不明派」の理屈は、ベイズ推定を満足に行えないので馬鹿らしく思うようですが
私からしたら、φさんの理屈も、この程度の問題に具体的に答えられないようでは役立たずだと思っています。
(私のやり方で導出した数値と異なる値になったとしても、それは単に前提の違いなので構いませんが、答えられないようでは困るわけです)
 

Re: Jeffreysの無情報事前分布

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月12日(水)16時07分39秒
返信・引用
  > No.4676[元記事へ]

スターダストさんへのお返事です。

>
> 交換して得られる金額の期待値は
> 2/3*5千円 + 1/3*2万円
> = 1万円
> で、交換前と変わりません。
>

 ネクタイ問題は、2封筒問題の未開封バージョンですから、
交換で損得なしということでもともと何の問題もありませんね。
 さて、
 開封バージョンにおいて、ペア金額と確率が反比例するならば、
 金額の大小当てゲームで、未開封のときは的中率1/2、開封するだけで的中率2/3になるという、
 ギャンブラーにとって耳寄りな話ですね。
 しかしそんなうまい話はありえないでしょう。

 問題に合わせて根元事象の種類を選定するのはフレーミング戦略として当たり前で、
 「ペア総額についての事前分布を決めようとするのはフレーミングの誤りであり、金額の大小を根元事象にとればよい」
 というのが私の立場ですが、
 もしも合理的なペア総額についての事前分布があるならば、たしかに無視できませんね。
 しかしそれは、期待値のパラドクス以前に、確率のパラドクスをもたらすので、
 「あらかじめ事後分布を一様分布と決める」という一般的戦略以外に見込みがあるとは思えません。

 なお、2封筒問題で金額θが θ ∈ (0, ∞) と認める場合、
 どうしても金額の事前分布が欲しければ、一様分布として、
  p( θ )は無限小、
 ということで何かまずいことがあるんでしょうかね。
 チャルマーズはそれで矛盾が起こるんだという論証をしていましたが、あれは無限小に対する正しい理解に基づいているのかどうか……

 あるいは、確率ゼロではまずいのか。
 ゼロ×∞=1でつじつまが合います。

 論理的に、Aが確率0というのは「Aは不可能である」「Aは存在しない」ということではないので、
 P{10000, 20000}=0であっても、{10000, 20000}が選ばれることは可能です。

 「確率不明」と「確率1/2」を区別せよ、と主張する人は、同時に、
 「測度ゼロという意味での確率ゼロ」と「非存在という意味での確率ゼロ」を区別せよ、とも言うべきではないか。
 P{10000, 20000}=0あるいは無限小(その他のペアも同様)としておいて、実際に{10000, 20000}が選ばれたところで仕切り直せばよい。

 というふうには考えられませんかね?
 

Re: Jeffreysの無情報事前分布

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 4月12日(水)15時47分36秒
返信・引用
  > No.4676[元記事へ]

大変失礼いたしました。

[4675]の引用部分で、ルール2の末尾が間違っておりました。

正しくは

==
変数変換すれば,
p( θ ) ∝ 1/θ
==

でした。慎んでお詫びいたします。
 

Re: Jeffreysの無情報事前分布

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 4月12日(水)13時06分46秒
返信・引用
  > No.4675[元記事へ]

財布の問題、またはネクタイ交換の問題で、
(金額は正であろうと見て)
先のJeffreysによる無情報事前分布のルール2を適用致しますと、

【未開封】でも【開封後】でも、交換しようがしまいが同じ価値が手元に残る……
という結論になるような気がいたしました。


2封筒交換問題でも、(私にとっては)倍率が効いてこないようにみえております。

開封して1万円を見たゲストの視点では、
もうひとつの封筒が5千円である確率が2万円である確率の2倍ある勘定になります。

交換して得られる金額の期待値は
2/3*5千円 + 1/3*2万円
= 1万円
で、交換前と変わりません。


ちょっと試しましたが、倍率が2倍だろうが3倍だろうが同じ結論のようです。

私にはとても不思議に思えてなりません。

ご意見を頂きたく、宜しくお願いいたします。

 

Jeffreysの無情報事前分布

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 4月12日(水)12時52分27秒
返信・引用
  まず引用させて下さい。

==引用開始

無知の状態を示す事前分布の選択のルールとして,Jeffreys(1961)は,つぎの二つの提案をしている.
まず,一つの母数について考えると,

1. 母数 θ について,θ ∈ (-∞, ∞) のみの情報があるとき,事前分布は一様分布となる.

p( θ ) ∝ const

2. 母数 θ について, θ ∈ (0, ∞) のみの情報があるとき, θ の対数が一様であるような事前分布を考える.すなわち, p(logθ) ∝ const であるから,
変数変換すれば,
p( θ ) ∝  const


==引用終了

引用は

植野真臣先生(電気通信大学)の講義資料からです。

( http://www.ai.lab.uec.ac.jp/wp-content/uploads/2016/03/eee474878b2e4f18fd562be2d8a70b9b.pdf )

(続く)
 

Re: 「全く不明」=「確率は1/2」

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月11日(火)01時16分58秒
返信・引用
  > No.4673[元記事へ]

通行人さんへのお返事です。

>
> しかし、よくよく考えると、これら2つの説って結局同じことを言ってるのではないかと思うようになりました。
>
> 確率という「数値」で表現したのがA説であり、「言葉」で表現したのがB説。
> ただ、B説で、交換による期待値は「不明」とするところは誤りと思います。
> 交換による期待値を計算するには「確率1/2」という「数値」を使わなくてはおかしいですから。
>

 そのとおりですね。
 期待値を求めない場合であっても、確率は数値がなければだめです。
 「不明」というのは「まったく特定の信念がない」ということであり、
 それは一様分布、二択の場合であれば1/2という意味です。
 「不明」なら仕方なく1/2にする、のではなく、「不明」はまさに1/2であるべきなのです。
 二択では知識が最小の状況を論理的に表わすためにこそ1/2という値があるのですから。
 あえて「不明」とだけ言って1/2を避ける人は、確率思考に参加していると言えません。

 2封筒問題で「不明」と言っている人たちは、その後のベイズ改訂をどうするんでしょうかね。
 たとえば、1万円をプレイヤーが見て、ベイズ改訂したあとで、
 胴元がやってきて「サイコロで6が出た場合のみ真実を言い他の目の場合は嘘を言う」と宣言し、サイコロを振り、「ああ、もう一つの封筒の中身は2万円ですよ」と言ったとします。
 交換して2万円が来る確率は?
 1/6?
 たしかでしょうか?
 P(「2万円ですよ」|2万円)は自明ですが、P(2万円|「2万円ですよ」)は慎重に考える必要がありますね。
 健康診断陽性のパズルのように、間違いを犯さぬよう、ちゃんと計算する必要があります。
 計算は、
 (1万円を見た後に得た確率を今度は事前確率として使います)

 P(2万円|「2万円ですよ」)=P(「2万円ですよ」|2万円)P(2万円)/P(「2万円ですよ」)
=P(「2万円ですよ」|2万円)P(2万円)/(P(「2万円ですよ」|2万円)P(2万円)+P(「2万円ですよ」|5千円)P(5千円))
=1/6×1/2/(1/6×1/2+5/6×1/2)=1/6

 P(2万円)=1/3としたならば、P(2万円|「2万円ですよ」)=1/11
 P(2万円)=2/3としたならば、P(2万円|「2万円ですよ」)=2/7
  になります。もちろん全く不明ならば、P(2万円)=1/2で進むべきですね。

 「不明派」は↑こんな計算もできなくなるでしょう。なにしろP(2万円)とP(5千円)が不明で値を持たないのだから。
 1/6、1/11、2/7、その他どんな突飛な値からも選べなくなってしまいます。
 そういうことでは困るわけです。ベイズ更新の連鎖が途切れるようなことでは。
 

「全く不明」=「確率は1/2」

 投稿者:通行人  投稿日:2017年 4月10日(月)20時55分22秒
返信・引用
  この2封筒問題(開封バージョン)をずっと考えていました。
最初に選んだ封筒が高額側(低額側)である確率が1/2である点に誰も異論はありません。
ここで、選んだ封筒を開けて中の金額を確認すると以下の2説に分かれます。
A説:その金額が高額側(低額側)である確率は1/2のまま。
  (交換による期待値は25%増)
B説:その金額が高額側(低額側)であるかは不明となる。
 (交換による期待値は不明?)

私は、最初A説で途中からB説になりました。
しかし、よくよく考えると、これら2つの説って結局同じことを言ってるのではないかと思うようになりました。

例えば、2つの箱があり、一方に賞品が入っており他方が空。
どちらが当たりか全く不明のとき、一方が(他方が)当たりである確率は1/2と言いますよね。

確率という「数値」で表現したのがA説であり、「言葉」で表現したのがB説。
ただ、B説で、交換による期待値は「不明」とするところは誤りと思います。
交換による期待値を計算するには「確率1/2」という「数値」を使わなくてはおかしいですから。


何か間違ってますか?
 

私見および構造の似た3問題

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月10日(月)05時05分54秒
返信・引用
  『改訂版 可能世界の哲学』のゲラが金曜日に終わったのですが、
そこでの私の2封筒問題観の核心はこういうものとなりました。
刊行に先立ってご報告いたします。(すでにhttp://8044.teacup.com/miurat/bbs/4537で一部引用しましたが)

2封筒問題は、
【どの金額についても】交換で25%得になる
 から
【すべての金額で交換して25%得】になる
を導き出して勝手に不思議がってしまうという、単なる誤謬推論の問題。

しかしその前段階に、
「10000円を見たときに、それが高額の方である確率は未開封時の1/2から改訂されるか」
「事前分布の後出しは正当か」(本当は「事後分布の先決め」ですが)
というステップが控えているのでした。
 「1/2から不明に変わる」と答える人は、「事前確率」というものが規約的な概念であり、どこに設定するかは自由であるという基本がわかってないのではないか。そう思う次第です。
 「{10000,5000}の事前確率が不明なので事後確率も不明であるべき」というのはナンセンスです。
 金額の大小の事前確率は明瞭であり、そこへ確率不明の別カテゴリの事象が影響を及ぼすことはありえないからです。
 不明な事前確率はいかなる問題設定の前にも想定できるので、「不明」派の主張に従うと、すべての確率問題の事後確率は「不明」が正解になってしまうでしょう。
 事前確率は、事後確率へ改訂するベースとしてあるのであって、推論を妨害するために立ちはだかる障害などではありません。
 なお、
 「理由不十分の原理」という言葉が出てきましたが、
  私は「無差別の原理」の方がしっくりきますね。積極的に一様分布にせよ、という指令が感じ取れて。
 「理由不十分」では必要悪みたいな、消極的な感じがするというか。

ところで、
2封筒問題の類題としては、
「火曜日生まれの男の子」があります。
二子の中に「火曜日生まれの男の子」がいるとわかった場合に「二人とも男子」の確率を求める問題ですが、
【どの曜日であれ】その曜日生まれの男の子がいるとわかれば、二人とも男子である確率は……
【どの曜日に生まれた男子であれ二人とも男子】である確率は……
↑この二つの混同があるように思われます。

「終末論法」も類似点があります。
【いかなるxについても】私はホモ・サピエンスのうちx番目に生まれた とわかった場合、人類の総数は……
【いかなるxであれ私がホモ・サピエンスのうちx番目に生まれた】 とわかった場合、人類の総数は……

この三つのパラドクス
「二封筒問題」「火曜日生まれの男の子」「終末論法」
は、構造を共有しているような気がします。
同型とまで言えるかどうかわかりませんが。
終末論法については、『論理学入門』で「人間原理の正しい応用例」であるかのように紹介しましたが、
 のちに終末論法が完全な誤りであることに気づき、『多宇宙と輪廻転生』で論じ直したのでした。
 ただ、誤りであることの理由を、
 x番目に生まれる事前確率の評価に求めるべきか、
 ホモ・サピエンスに生まれる事前確率に求めるべきか、
 その両方なのかについて、いまだに私は判断保留状態です。
「火曜日生まれの男の子」はこの三つの中では最も易しい、まぎれのないただのパズルで、「語りのパラドクス」として捉えた紀要論文を最近2つ書きました。
 (大学のリポジトリにアップされたらリンクつけます)
「二封筒問題」についても、『改訂版 可能世界の哲学』第7章をふくらませたものをそのうち書こうと思います。
 

(無題)

 投稿者:遅読猫  投稿日:2017年 4月 9日(日)14時23分2秒
返信・引用
  三浦さん

> > 「ですよ」って、あなたの書き方が悪いです。
> > それに、あなたがゴチャゴチャ余計なことを書くから何度も確認することになります。
> > で、あなたの主張は了解しました。
> > a. b. が「あなたの主張」であることはブログに書いていいですね?
> > [はい] / [いいえ]
> > (如何なるあなたの発言も引用するつもりはありませんので御安心を)
> >
>
> お断りするとすでに申し上げました。


了解しました。
では「a. b. という主張をする人もいる」という事で書かせて頂きます。
実際、こういう主張をするのはあなただけではないので。

>  せっかくお答えしても「ゴチャゴチャ余計なことを書くから」という(その言い方、二度目ですね)応答では、正常な対話とは言えません

お言葉を返すようですが、
自分でも「それがなんであるか」言えないようなことを元にした質問を繰り返し人にするのは、それこそ「正常な対話」とは言えませんね。

> > では改めて、
> > http://8044.teacup.com/miurat/bbs/4605
> > における問3状況の必要十分条件を、
> >  遅読猫実験が({10000, 20000}に意図的に限定した実験が)満たしているでしょうか?
>
> では改めて
>
> [p] は「問3状況の必要十分条件」です。
> そして
> [p] は「2封筒問題1万円バージョンの必要十分条件」でもあります。
> 命題:p が何かを答えてください。

で、私には"異常な対話"で無駄にする時間はありません。
命題:p を明示できたら、いつでも私のブログにコメントください。
またそのときはこちらにお伺いします。
お手数ですが、ハンドルネームは"三浦俊彦"さんでお願いします(例のスマシが厄介なので。名前ならスマシも躊躇するでしょうから)。
 

Re: (無題)

 投稿者:φ  投稿日:2017年 4月 9日(日)11時41分12秒
返信・引用
  > No.4668[元記事へ]

遅読猫さんへのお返事です。

>
> 「ですよ」って、あなたの書き方が悪いです。
> それに、あなたがゴチャゴチャ余計なことを書くから何度も確認することになります。
> で、あなたの主張は了解しました。
> a. b. が「あなたの主張」であることはブログに書いていいですね?
> [はい] / [いいえ]
> (如何なるあなたの発言も引用するつもりはありませんので御安心を)
>

お断りするとすでに申し上げました。
 せっかくお答えしても「ゴチャゴチャ余計なことを書くから」という(その言い方、二度目ですね)応答では、正常な対話とは言えません。
 

(無題)

 投稿者:遅読猫  投稿日:2017年 4月 9日(日)10時33分12秒
返信・引用
  >>>  回答者の最初の選択時、
>>>  回答者視点では、ドアが当たりである確率は1/3  期待値は賞品の価値×1/3
>>>  司会者視点では、ドアが当たりである確率は1か0  期待値は賞品の価値またはゼロ

>> それに、「結果」ですよ。「確率」や「期待値」じゃない。
>> 「結果」ってプレイヤーが最終的に獲得した金額ことです。

> 確率や期待値が違うということは、獲得金額もどこかで違っていなければなりません。

回答者が最終的に選んだ扉を司会者が開けると…
回答者視点では、ヤギでした。
司会者視点では、車でした。

摩訶不思議、三浦ワールド!!
 

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