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Re: φさんは一度確率論を勉強してみては

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月28日(火)01時36分22秒
返信・引用
  > No.4621[元記事へ]

Sanさんへのお返事です。

>
> > 「赤と出目は独立かどうかわからない」と但し書きがあった場合はどうでしょうね。
> >  何も但し書きがない場合も、出目と色の間にはこの「わからない」が常識的に成り立つわけですが(色は物理的違いを反映するので、当然、サイコロの転がり方に影響する)、なぜSanさんは独立性を仮定したのでしょう。
> >  そう、独立性の正否について無知だから、主観確率を適用したのですよね。
> >
>
> 但し書きがあった場合は採用するモデルによりますが、それでも常識的なモデルであれば1/6でしょう。
> -解答-
> 出目の確率がそれぞれp_{i} (i=1,2,...,6) でベクトルp=(p_{1},p_{2},...,p_{6})が確率変数であるとします。
> P(X=6|p)=p_{6}であるので、P(X=6)=E(P(X=6|p))=E(p_{6})です。
> ここで各p_{i}は同分布に従うと仮定するとE(p_{i})=constant (i=1,2,...,6)ですので
> E(p_{6})=1/6となってP(6)=1/6となります。
> -終わり-

 ↑
これは、引用とコメントが対応しているのですか?
色と出目との独立性がなぜ仮定できるかという話だったのですが。
色は種類も数も確率も問題文に与えられておらず、しかし色によって物理的違いがあるので出目に影響するはず。しかしそれを無視して出目とは独立と仮定できましたよね、という話でした。
 だったら金額の絶対値と相対的大小の独立性だって仮定できますよね、という……。
 まあ、この件は深入りせずとも結構ですが。

>
> >  金額と確率についても、「独立かもしれないし、独立でないかもしれない」ということしかわかりません。
> >  わからないなら、独立性を適用するのは自然です。
> 独立性が分からないと断っているのに、独立性を仮定するのは意味不明です。
> とても数学をやる態度ではありません。
>

 かりに独立でないとしても、どのような非独立性(依存性)を前提すればよいのかわからない、ということです。
 結果、独立性を認めたのと同じ扱いになってしまうということ。
 ありとあらゆる種類の依存性を認めると、結果として無相関になってしまうでしょうしね。
 「わからない」で済ませるよりよほど生産的です。

>
> 今回の答えも分からないとは言ってますが、実際はP(X>Y,X=10000)/P(X=10000)といった評価は与えてるので事前分布に応じた答えは与えています。
> 分かる範囲での答えを与えているので十分有益です。
>

 しかし事実問題として、具体的な事後確率が消滅したのだから、次の段階の事前確率として使用することが出来なくなっているでしょう。
 データが増えたせいでストップしかねない、という推論では困るわけです。

>
> P(X>Y)=1/2だけでは分布の仮定として不十分です。任意のR^{2}可測集合Aに対してP((X,Y) ∈A)の値を定めて初めて事前分布を仮定したことになります。
> こんなことは確率論を少しでも知っていれば常識です。
>

 何を事前分布にとるか、というのは柔軟に決められるはずですが。
 前回述べたように、事前分布は「わからない」ところから始めるのではなく、「わかる」ところから始めるのが当たり前です。
 だから、封筒の大小関係ではなく金額ペアを根元事象にするのであれば(期待値を求めるステップでは当然そうすべきでしょうが)、「1万円を見た」という時点で初めて事前確率分布が決まった、とすればよいのですよ。
 事前確率、事後確率というのは相対的な概念です。
 なぜ、確率がわかるはずのない開封前金額を事前分布として選ぼうとするのか、理解に苦しみます。
 事前分布というのは固定的絶対的な指示対象を持っているわけではありません。

>
> φさんは確実にベイズ推定をしたことがないと分かりますが、なぜ自身が知らないベイズ推定なんてものを持ち出すのでしょうか?
>

??Sanさんはいったい何をもってベイズ推定と呼ぶのでしょうか???
私が自分ではベイズ推定だと思っている事を演じている実例が、
新しいところではここ↓
http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=3013
↑にありますので
(サブタイトルにもろ「ベイズの定理」)、
ほんの4ページの小文、お時間あるときご検討いただけると幸いですが。……
 Sanさんの方が私よりはるかに数学ができるわけなので、なぜ数学者が〈こんな初歩的な間違い〉を犯すのか、そのうちご意見お聞かせいただけると嬉しいですね。
 そう、数学者の不可解な誤りを指摘したエッセイですから、数学畑の人にとってはツッコミ甲斐があるかもしれません。
 
 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月28日(火)01時25分9秒
返信・引用
  > No.4619[元記事へ]

TTTさんへのお返事です。

>
> > 改めてお答えすれば、問0も問1も1/6。
> >   問0が、「6つの目の出やすさがそれぞれ異なるサイコロを……」という文であったとしても、正解はやはり1/6。
>
> に変更がないなら、どういう仮定や計算でその答えになったのかちゃんと書いてください(「必要な条件は明記しろ」と指示したはずです)。
>

 問0は、6つの目の確率の期待値を求めれば、必ず1/6になるでしょう。
 かりに、「6が出る割合は平均から偏っているものとする」とか「どれか一つの面しか出ないものとする」と明記してあったとしても、
P(6)≠1/6やP(6)≠0or1とするのではなく、とりあえずP(6)=1/6とすべきでしょう。
 すでに着地したコインがすでにどちらかの面を上に向けて(つまり偏りの極致を示して)いても、オモテである確率は1/2とするのと同じです。

>
> 「1投目に6が出たということから、ある程度6が出やすいサイコロであった可能性が高まり、2投目も6である確率は1/6より大きい」
> という大雑把な推理も感覚的には正しそうだと思いますが、これはφさんの答えと反してますね。どこが駄目なのでしょうか?
>

 1から6までの事前確率に各々1/6を割り当てたのであれば、何回連続して6が出ようが次が6である事後確率は1/6。たとえば2回連続6の場合は(◎は任意の目)
P(6、6、6|6、6、◎)=P(6、6、◎|6、6、6)P(6、6、6)/P(6、6、◎)=(1×1/216)/1/36 =1/6
 5が出た場合も同様。
P(6、6、5、6 |6、6、5、◎)=P(6、6、5、◎|6、6、5、6)P(6、6、5、6)/P(6、6、5、◎)=(1×1/216*6)/1/216 =1/6

 ただしこれだと、100回連続して6が出ても相変わらず6が出る事後確率1/6と認めてしまいますから、イカサマを暴露できませんね。(イカサマを見破る計算というのを以前読んだ記憶がありますが、忘れました)
 つまり厄介なのは、「6つの目の出やすさがそれぞれ異なるサイコロを……」と明記してあった場合ですね。
 以下のような思考が合っているかどうか心もとないですが、
(確率の確率を考えるので確率変数が連続的になり、正直手に負えないため仮説検定風にやらせていただきますが)

 まず、1回投げた場合。
 仮説Aを P(6)=a  とする。
P(A|6)=P(6|A)P(A)/P(6)
=aP(A)/1/6 = 6aP(A)
   ∵Aに条件づけない場合、P(6)=1/6

仮説A を P(6)=1/6 とすると、(つまりa=1/6とすると)
P(A|6)= 6aP(A)=P(A)    6が出ても仮説Aの信頼度に影響なし。
ただしa≠1/6でもよいとすると、aが大きければ大きいほど仮説の信頼度は(事前確率に比べて)高まる。

P(6)=1/6とする仮説は6が出ても確証も反証もされない(事前確率から変わらない)が、1/6より大きく見積もる仮説は確証され、1/6より小さく見積もる仮説は反証される、ということではないでしょうか。
つまり、
A P(6)=a
B P(6)=b として、
P(A|6)/P(B|6)=P(6|A)/P(6|B)×P(A)/P(B)
=a/b×P(A)/P(B)
   6が出たことで事後確率が修正されます。

 2回投げた場合も同様。
 P(A|66)=P(66|A)P(A)/P(66)
=a^2P(A)/1/36 = 36a^2P(A)
   ∵Aに条件づけない場合、P(66)=1/36

 仮説A を P(6)=1/6 とすると、(つまりa=1/6とすると)
P(A|66)= 36a^2P(A)=P(A)
66が出ても仮説Aの信頼性に影響なし。
ただしa≠1/6でもよいとすると、aが大きければ大きいほど信頼度は高まる。

 3回投げて665の場合も同様の計算で  (P(5|A)=b として)
P(A|665◎)= 216a^2・bP(A)
 a=b=1/6とすると P(A|665◎)= 216a^2・bP(A)=P(A)
665が出ても仮説Aの信頼度に影響なし。(次に6、5が出る確率はそれぞれ1/6)
ただしa,b≠1/6でもよいとすると、
時間切れで計算できませんが、
おそらく僅かにこうなるのでしょう。


>
> 感覚的には
> 問2は、問1よりもさらに6が出やすい可能性が高まり、より出目が6の確率が高まる
> 問3は、既に二回出てる6の目が一番出やすく、次いで5の目が出やすい。残りの出目(例えば1の目)がでる確率は5の確率より低くなる
>

 一般に P(6)=1/6 という仮説の事前確率が最も高いため、
 6がかなり続けて出るようなことでもないと棄却されない、ということなのでしょう。
 上記のような場合は6の目も5の目も1/6からほとんど変動ないでしょうね。

 いま思い出しましたが、
 「コイントスで10回連続で表が出た場合に11回目どちらに賭けるか?」という問題を、
 拙著『論理パラドクシカ』の問014「ライアーゲーム版コイントス」(pp.35-39)で簡単に論じております。
 間違っていないとよいのですが。
(『論理パラドクス』は数学畑の人の指摘で訂正版を出したばかりです)
 

φさんは一度確率論を勉強してみては

 投稿者:San  投稿日:2017年 3月27日(月)13時00分0秒
返信・引用
  φさんへのお返事です。

> 「赤と出目は独立かどうかわからない」と但し書きがあった場合はどうでしょうね。
>  何も但し書きがない場合も、出目と色の間にはこの「わからない」が常識的に成り立つわけですが(色は物理的違いを反映するので、当然、サイコロの転がり方に影響する)、なぜSanさんは独立性を仮定したのでしょう。
>  そう、独立性の正否について無知だから、主観確率を適用したのですよね。
>

但し書きがあった場合は採用するモデルによりますが、それでも常識的なモデルであれば1/6でしょう。
-解答-
出目の確率がそれぞれp_{i} (i=1,2,...,6) でベクトルp=(p_{1},p_{2},...,p_{6})が確率変数であるとします。
P(X=6|p)=p_{6}であるので、P(X=6)=E(P(X=6|p))=E(p_{6})です。
ここで各p_{i}は同分布に従うと仮定するとE(p_{i})=constant (i=1,2,...,6)ですので
E(p_{6})=1/6となってP(6)=1/6となります。
-終わり-

このような仮定のもとで解けるのであって、主観確率を適用したからではありません。(そもそも主観確率を適用したら1/6となるのも意味不明です。導出を書いてもらってもよいでしょうか?)
ポイントは各p_{i}は同分布と仮定できるところです。(2封筒問題では一様分布が存在しないので仮定できません)

しかしデータが何もない状態で、歪なサイコロをふるという問題は意味がありません。
なぜなら各パラメータp_{i}は同分布であると仮定せざるをえないので、そうした時点で確率1/6は自明となってしまいます。
意味があるのは一つデータが得られた時の次の試行に関する問いでしょう。

問題S
歪なサイコロを二回ふり、出目をそれぞれX,X'とする。
P(X=i|p)=p_{i}であり、pは確率変数である。さらに各p_{i}は同分布に従うとする。
また各試行はpのもとで条件付独立である、すなわち
P(X=i,X'=j|p)=P(X=i|p)P(X'=j|p)である。
さてXを確認したところX=6であった。
(1)P(X'=6) ≧1/6を示せ。
(2)V(p_{6})>0であるとき、P(X'=6)>1/6を示せ。


>  金額と確率についても、「独立かもしれないし、独立でないかもしれない」ということしかわかりません。
>  わからないなら、独立性を適用するのは自然です。
独立性が分からないと断っているのに、独立性を仮定するのは意味不明です。
とても数学をやる態度ではありません。
何が仮定されていて、何が仮定されていないのか区別できていないでしょうか?

>  「完璧主義は確率問題にとって無益ではないか」という前回の私の疑問について。
>  せっかく1/2だった推定を、新データ獲得とともに全面放棄してしまう動機は何ですか?

そもそも推定を全面放棄していません。
P(X>Y,X=10000)/P(X=10000)といった評価を与えています。
現実的には事前分布を適当に一つ定めて、それに応じた事後確率を計算すればよいでしょう。

数学は分かる範囲で、正しい推論をする学問です。
今回の答えも分からないとは言ってますが、実際はP(X>Y,X=10000)/P(X=10000)といった評価は与えてるので事前分布に応じた答えは与えています。
分かる範囲での答えを与えているので十分有益です。
一方何の根拠もない1/2という確率をだすことは無益であるどころか有害です。


>  ベイズ推定では、間違いを覚悟で精一杯自然な推定をして、そこからどんどん確率判断を更新していくわけですが。
ベイズ推定では事前分布を仮定してから始めますが、事前分布を仮定できていないφさんの推論はベイズ推定になっていません。
P(X>Y)=1/2だけでは分布の仮定として不十分です。任意のR^{2}可測集合Aに対してP((X,Y) ∈A)の値を定めて初めて事前分布を仮定したことになります。
こんなことは確率論を少しでも知っていれば常識です。
φさんは確実にベイズ推定をしたことがないと分かりますが、なぜ自身が知らないベイズ推定なんてものを持ち出すのでしょうか?
不十分な理解のもとで扱うのは間違いのもとですよ。
 

Re: (無題)

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 3月27日(月)09時10分12秒
返信・引用
  > No.4617[元記事へ]

φさんへのお返事です。

> スターダストさんへのお返事です。
>
>  その出典は『100人の囚人と1個の電球 知識と推論にまつわる論理パズル』という本でしょうか。
>
>  いちおうさっき注文したのですが。


はい。問題文はそちらからです。
当該の問題文ではアリ、ババ両名のうちアリの視点でのみ切り取ったものになっています。

アリとババとが登場する原典の写しをPDFにしたものが以下にあります。

Barry Nalebuff "The Other Person's Envelope is Always Greener"

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.698.383&rep=rep1&type=pdf

 

Re: 2投目の主観確率

 投稿者:TTT  投稿日:2017年 3月27日(月)01時52分58秒
返信・引用
  > No.4595[元記事へ]

φさんへのお返事です。

> 後出しジャンケンというのは喩えとして「フロリダという女の子」や「火曜日生まれの男の子」の問題にあてはまる喩えのような気がしますが、

後で触れようと思っているのですが「火曜日生まれの男の子」の問題についてもφさんの主張と食い違う部分が確かあったので
後出しジャンケン的というのも同意しかねますね。


> ただし、問1は曖昧ですね。

> 問1が、問0と同じ「6」を問題にしていることに理由があるならば――
>  (つまり、出題者の恣意によるただの問題の定義ではなく、ということ)
>   たとえば、投げてみたらたまたま6が出たので、問1を思いつき、出題した、ということならば――
>  6が出なかったら問1は問われなかった、という設定になるので、
>   観測選択効果が働くことになります。

意味はよくわかりませんが、今訊いているのは
1投目が6である時の条件付き確率 であって
そう出題された場合の条件付き確率 ではありませんから
「出題実現確率」とやらは関係ないのでは?

特に今回の問題では文中に、ゲームの相手役や司会進行役のディーラー、出題者や第三者は登場していませんし、不要です。
主観確率は誰かから「~となる確率は?」などと尋ねられなくても、その主観さえあれば存在してる(考えることが可能)ですから
特に断りのない限り(問題文中に出題者が登場して、どのような意図やルールに従い出題するのかが設定される等の場合を除いて)
出題された事実と出題内容は独立と仮定して、(出題確率と関係なく)出題内容にだけ答えるのが自然ではないですか?

そうでなければ
「~が起きた。この時の確率は?」という一般的な条件付き確率の問い方の多くが
「曖昧」つまり「わからない」(一意に答えられない)ということになってしまい

> 「わからない」という解答を最大限排除する

という理念にも反してしまいます。
この理念については、数学の分野である確率論に対してではなく(それとは関係なく)、主観確率に対するものなら私も賛同します。

(なお、わざわざ独立と仮定しなくてもいい場合もあるのですが、それに関する議論はとりあえず保留)


ともかく
どうしても問1の状況や出題意図を設定したいなら例えば
φさんと私で、両者にとって「どちらがどれだけ出やすいか分からないが、1回投げたら6が出たということだけは分かっている」サイコロを使って何か賭けをすることになって
φさんがどう賭けるか、参加費や払い戻し額と比べて期待値はどうなっているか等を判断するために
φさんが「1投目が6の時に2投目の確率の値(確率分布)はどうなっているのか」を知りたくなって、自分自身に出題した
という状況を想像してください。

期待値を求めたいから具体的な数値として確率の値が知りたいのに
仮説Aと仮説Bを用意したら~等の理論は役に立たないわけです。


以上を踏まえた上で

> 改めてお答えすれば、問0も問1も1/6。
>   問0が、「6つの目の出やすさがそれぞれ異なるサイコロを……」という文であったとしても、正解はやはり1/6。

に変更がないなら、どういう仮定や計算でその答えになったのかちゃんと書いてください(「必要な条件は明記しろ」と指示したはずです)。

問0と「出やすさがそれぞれ異なるサイコロ」については大方予想はできますが、問1の方は全くわかりません。
出題確率とは関係なくても
「1投目に6が出たということから、ある程度6が出やすいサイコロであった可能性が高まり、2投目も6である確率は1/6より大きい」
という大雑把な推理も感覚的には正しそうだと思いますが、これはφさんの答えと反してますね。どこが駄目なのでしょうか?

ついでに続きの問題を出題しておきましょう;
問2:どの目がどれだけ出やすいかわからないサイコロを2回投げたら、1投目も2投目も6だった。このとき3投目の出目も6である確率は?
問3:そのサイコロの3投目は5であった。このとき4投目が6である確率、5である確率は?


感覚的には
問2は、問1よりもさらに6が出やすい可能性が高まり、より出目が6の確率が高まる
問3は、既に二回出てる6の目が一番出やすく、次いで5の目が出やすい。残りの出目(例えば1の目)がでる確率は5の確率より低くなる
となりそうですが・・・。


> 具体的な仮説を用意してから比較評価するのではなく、暫定的な仮説なしでいきなり「6が出る確率は何分の何」「何%」という答えを出す方法というのはあるんでしたっけか?

その方法が、(本来の意味での)ベイズ推定です。
 

Re: (無題)

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月27日(月)01時16分48秒
返信・引用
  > No.4616[元記事へ]

φさんへのお返事です。

> 「2つの封筒の中身をそれぞれAと2Aとして」に変更してください。
> ●未開封バージョンの増額率(封筒a の中身を2AまたはAとする)
> ((A-2A)/2A)/2+((2A-A)/A)/2=1/4
> ●開封バージョンの増額率(封筒a の中身を x とする)
> ((x/2-x)/x))/2+((x-x/2)/(x/2))/2=1/4

失礼しました、開封バージョンの方、書き間違えました。正しくは、
●開封バージョンの増額率(封筒a の中身を x とする)
((x/2-x)/x)/2+((2x-x)/x)/2=1/4

 正味金額の計算はべつに必要ないでしょう。
 

Re: (無題)

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月27日(月)00時53分2秒
返信・引用
  > No.4614[元記事へ]

スターダストさんへのお返事です。

 その出典は『100人の囚人と1個の電球 知識と推論にまつわる論理パズル』という本でしょうか。

 いちおうさっき注文したのですが。
 

Re: (無題)

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月27日(月)00時51分14秒
返信・引用
  > No.4613[元記事へ]

遅読猫さんへのお返事です。


>
> なんで「封筒の中身を確認して2万円を見た人」の結果は捨てるんでしょうか。
>

「1万円を見た。交換は得か」という問題を検証する実験だからですよ。
「2万円を見た。交換は得か」という問題を検証する実験なら、2万円を見た人全員を調べます。
 遅読猫実験では、2万円を見た人は、交換によって50%の損ですね。
 これも、遅読猫さんのb.[いいえ]選らんだ封筒の中身を確認したとしても、a と同じで、選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない」に一致していませんね。
 ご説明ください。
 念のため、1万円の人と2万円の人を混ぜてしまったら、母集団が未開封と同じことになってしまい、開封バージョンにはなりませんよ。
 グループA=グループBは開封バージョンの検証にはならない、と何遍言っても伝わらないようですね……

>
> >(遅読猫さんからも私に質問がなされたようですが、この回答をうかがってから、お答えします)
> では、私の質問の答えをお願いします。
>

また新しい質問をもらったので、その間、
 http://8044.teacup.com/miurat/bbs/4605 で私が問いかけた問いをお考えください。
 「問3状況の必要十分条件を、遅読猫実験が({10000, 20000}に意図的に限定した実験が)満たしているでしょうか?」

>
> > 増額率なら、a,bともに「交換して25%増」となるため、
> >
> 意味がわかりません。
>

スターダストさんがすでに書いているとおり。
http://8044.teacup.com/miurat/bbs/4610

> a の場合は封筒a の中身を x として、
> b の場合は封筒a の中身を 一万円 として、
> 計算式をお願いします。

↑「a の場合は封筒a の中身を x として、」という時点でおかしいでしょう?
「a の場合」は未開封バージョンなのですから、非対称的な独立変数と従属変数を分けられません。
「2つの封筒の中身をそれぞれAと2Aとして」に変更してください。
●未開封バージョンの増額率(封筒a の中身を2AまたはAとする)
((A-2A)/2A)/2+((2A-A)/A)/2=1/4
●開封バージョンの増額率(封筒a の中身を x とする)
((x/2-x)/x))/2+((x-x/2)/(x/2))/2=1/4
 

Re: 問Rその他

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月27日(月)00時42分27秒
返信・引用
  > No.4612[元記事へ]

Sanさんへのお返事です。

「赤と出目は独立かどうかわからない」と但し書きがあった場合はどうでしょうね。
 何も但し書きがない場合も、出目と色の間にはこの「わからない」が常識的に成り立つわけですが(色は物理的違いを反映するので、当然、サイコロの転がり方に影響する)、なぜSanさんは独立性を仮定したのでしょう。
 そう、独立性の正否について無知だから、主観確率を適用したのですよね。

 金額と確率についても、「独立かもしれないし、独立でないかもしれない」ということしかわかりません。
 わからないなら、独立性を適用するのは自然です。
 とくに私の場合は、事前確率でそれをするのではなく、「開封後に残った根元事象の確率についてのみ」独立性を仮定するわけですから。
 Sanさんや私の行なったそういう仮定が、確率問題の解法の基礎にあるはずです。
 もちろん、途上で独立性への反証データが判明すれば、確率は改訂される。
 それで十分です。

>
> > ●問R
> >  あなたは2つの封筒を提示された。互いに異なる金額が入っているという。
> > 一方の封筒を開けると7000円入っていた。それが高額の方である確率は?
>
> これも同じく不明です。
> P(X>Y|X=7000)=P(X>Y,X=7000)/P(X=7000)と変形できますが、
> X>YとX=7000が独立とは限らないので、これ以上の変形はできません。
>

 7000を見て、事前確率の1/2から増えたか減ったか不明、ということですよね。
 しかしそれを「事前確率1/2から事後確率1/2へトリビアルに改訂する」とは決して見なさない、と。
 えらく適用範囲の狭い確率ですね……。
 う~ん、正直、あまり議論する意義が感じられなくなってきました。
 主観確率を認めるか認めないかの違いだけのようなので……。
 Sanさんは私よりも遅読猫さんにコメントしてあげた方がよいような。
 ただ、まだSanさんにお聞きしたいのは、
 「完璧主義は確率問題にとって無益ではないか」という前回の私の疑問について。
 せっかく1/2だった推定を、新データ獲得とともに全面放棄してしまう動機は何ですか?
 ベイズ推定では、間違いを覚悟で精一杯自然な推定をして、そこからどんどん確率判断を更新していくわけですが。
 

Re: (無題)

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 3月26日(日)22時57分2秒
返信・引用
  > No.4602[元記事へ]

スターダストさんへのお返事です。
> アリババ型の二封筒問題であるならば、アリは交換することで25%増しを期待できると……

アリババ型の問題をアリの視点からだけにして他の枝をバッサリと切ったものを、 Barteld Kooi や Hans van Ditmarsch による定式化に従い、川辺治之氏による翻訳にて、以下に。

===
お金持ちは、二つの区別できない封筒の一方の中身をあらかじめあなたにくれると約束する。彼は一方の封筒にお金を入れ、それをあなたに渡す。そしてこっそりとサイコロを投げる。サイコロの目が奇数ならば、彼はあなたに渡したお金の半額をもう一方の封筒に入れる。サイコロの目が偶数ならば、彼はあなたに渡したお金の倍額をもう一方の封筒に入れる。
そこで、お金持ちは、封筒を取り替えるべきかどうか尋ねる。
あなたは封筒を取り替えるべきだろうか。


===

さて、このアリババ型の問題で。
注目すべきは、未開封でのあなたの決断と開封済みでのあなたの決断は同じであろうという点です。

もうひとつ注目すべき点があります。

《お金持ちは、封筒を取り替えるべきかどうか尋ねる。》
けれどもあなたが未開封のままで迷っているうちに、あなたの封筒がお金持ちによりいったん回収され、もう一方の封筒とシャッフルされ、ふたたびどちらかの封筒があなたの手元に返され、再び聞かれます。
《お金持ちは、封筒を取り替えるべきかどうか尋ねる。》
あなたはどうしますか?

あなたは封筒の中身を見ました。
《お金持ちは、封筒を取り替えるべきかどうか尋ねる。》

アリババ型では話題になっている一様分布とは無縁の問題です。
シャッフル後ではどうでしょうか? 後者の未開封バージョンと開封済みバージョンとでは違いがありますか。あるとしたらどのように?

シャッフルがはいると面倒です。
 

(無題)

 投稿者:遅読猫  投稿日:2017年 3月26日(日)22時50分19秒
返信・引用
  三浦さん

>ちなみに、遅読猫さんの実験では、1万円を見た人は、交換によって全員が2万円ゲット、つまり100%増になっています。
>遅読猫さん自身の回答「b.[いいえ]選らんだ封筒の中身を確認したとしても、a と同じで、選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない」に一致していませんね。

> 実験と回答のこの不一致について、ご説明をお願いできますか。

なんで「封筒の中身を確認して2万円を見た人」の結果は捨てるんでしょうか。
それを「データの不正操作」といいます。

>> (三浦さんの「期待値」に従わなかった)グループA
>> 総額:250×10000+250×20000 = 7500000
>> 平均:15000
>>
>> (三浦さんの「期待値」に従った)グループB
>> 総額:250×10000+250×20000 = 7500000
>> 平均:15000
>>
>> 以上の計算、どこか間違ってますか?
>
> いいえ。

>> では、
>> この「計算」結果、つまり「二封筒問題のルールに従って何度も繰り返して集計」した結果が「交換で25%得」となっていますか?
>
>  いいえ。

残念ですが、私の「実験」は

選らんだ封筒の中身を確認したとしても、a と同じで、選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない」

一致してますね。

>(遅読猫さんからも私に質問がなされたようですが、この回答をうかがってから、お答えします)

では、私の質問の答えをお願いします。
それと

> 増額率なら、a,bともに「交換して25%増」となるため、
>  私の答えはa「いいえ」b「はい」となります。開封・未開封で違いがありませんね。
> しかし、正味金額のことのようなので、私はa,bともに「はい」です。

意味がわかりません。
a の場合は封筒a の中身を x として、
b の場合は封筒a の中身を 一万円 として、
計算式をお願いします。

■増額率なら
a [計算式] = 25%得
b [計算式] = 25%得

■正味金額なら
a [計算式] = 0%得
b [計算式] = 25%得
 

Re: 問Rその他

 投稿者:San  投稿日:2017年 3月26日(日)22時28分8秒
返信・引用
  φさんへのお返事です。

>  P(6|赤)=P(赤&6)/P(赤)では、
>  P(赤)は不明でいっこうにかまいませんでしたから。
Pは事象に対してその確率を返す関数であるので、P(赤)と書くには
赤がPの定義域である、すなわち事象でなくてはなりません。

P(赤)は確かに不明でもかまいませんが、それは赤と6の独立性により
P(赤&6)/P(赤)=P(赤)P(6)/P(赤)=P(6)と変形できるからです。
この場合P(赤)は任意の値で成立するので、確かにP(赤)は不明でかまいませんが
それは赤が事象でなくてもよい理由にはなりません。
赤は事象であり任意に一つP(赤)が定められていますが、P(赤)の値によらずP(6|赤)=1/6であるので
赤のサイコロを振った時6が出る確率は1/6といってよいわけです。

> X=10000とX>Yが独立ならば、「赤」と同様「X=10000」も必要ない、と考えてよいですか。
> もちろんSanさんは独立とは考えないわけですが。
> 主観確率の立場では、確率に関しては独立と考えるべきだと思います。(もちろん期待値とは独立ではありませんが)

問題文からは{X,Y}={10000,5000}とX>Yとしか読み取れないので、X=10000とX>Yは独立とは限りません。
それはどのような立場であっても変わらないと思います。

> ●問R
>  あなたは2つの封筒を提示された。互いに異なる金額が入っているという。
> 一方の封筒を開けると7000円入っていた。それが高額の方である確率は?

これも同じく不明です。
P(X>Y|X=7000)=P(X>Y,X=7000)/P(X=7000)と変形できますが、
X>YとX=7000が独立とは限らないので、これ以上の変形はできません。
 

a,bの無矛盾性

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月26日(日)22時02分27秒
返信・引用
  > No.4608[元記事へ]

遅読猫さんへのお返事です。


> b.[いいえ]
>
> 選らんだ封筒の中身を確認したとしても、
> a と同じで、選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない。

 了解しました。

 遅読猫さんの質問が曖昧と私が言ったのは、スターダストさんのご指摘通りです。
 つまり、得というのが金額のことか、増額率のことかということです。
 増額率なら、a,bともに「交換して25%増」となるため、
 私の答えはa「いいえ」b「はい」となります。開封・未開封で違いがありませんね。
 しかし、正味金額のことのようなので、私はa,bともに「はい」です。

 ↑これは不思議でも何でもありませんよ。
 封筒を選んだ「私」が属する可能世界の集合が、開封前と開封後では異なることに注意してください。
 開封前aと開封後bでは、「私」は異なる集合からのランダムサンプルです。
 さらに、
「開封前に交換して、最終獲得金額を知った場合」
「開封後に交換して、最終獲得金額を知った場合」
↑この2つをいっぺんに経験する主体は存在不可能であることにも御注意ください。
aとbの間に「得でなくてかつ25%得」という矛盾は生じません。

・・・・・・・・・・・・
ちなみに、遅読猫さんの実験では、1万円を見た人は、交換によって全員が2万円ゲット、つまり100%増になっています。
遅読猫さん自身の回答「b.[いいえ]選らんだ封筒の中身を確認したとしても、a と同じで、選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない」に一致していませんね。

 実験と回答のこの不一致について、ご説明をお願いできますか。
 (遅読猫さんからも私に質問がなされたようですが、この回答をうかがってから、お答えします)
 

(無題)

 投稿者:スターダスト  投稿日:2017年 3月26日(日)21時29分57秒
返信・引用
  うーん。

E(Y)/E(X)を聞いているのではなくて、
E(Y/X)を聞いているのですよねえ。
気持ち的には。

 

(無題)

 投稿者:遅読猫  投稿日:2017年 3月26日(日)21時27分5秒
返信・引用
  三浦さん

>>>●問1
>>> あなたは2つの封筒を提示された。一方に入っている金額は他方に入っている金額の2倍だという。
>>>一方の封筒を開けると1万円入っていた。あなたはその1万円をもらうか、もう一方の封筒と交換するか、選ぶことができる。あなたの視点からして、どちらが得か。
>>>●問2
>>> あなたは小切手を2枚、一方の金額が他方の金額の2倍になるように書き、それぞれ別の封筒に入れて、二つをプレイヤーに差し出した。
>>> プレイヤーが一方の封筒を開けると1万円が出た。プレイヤーはその1万円をもらうか、もう一方の封筒と交換するか、選ぶことができる。あなたの視点からして、プレイヤーにとってどちらが得か。

>> 視点が違うだけで、問2と問1って、実際に行われることはおんなじじゃん。
>> だったら、視点(主観)がどうあれ、実際(客観的)に行われる「実験」も同一じゃん。

> モンティホール問題の教訓が生きていませんかね……。
> 問1と問2の区別がつかなくなりがちではあるが、区別がつかないのではなく、区別がつきづらいだけです。

視点以外で、問2と問1の違うところを述べてください。
箇条書きで。
 

(無題)

 投稿者:遅読猫  投稿日:2017年 3月26日(日)21時16分5秒
返信・引用
  b.[いいえ]

選らんだ封筒の中身を確認したとしても、
a と同じで、選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない。
 

(無題)

 投稿者:遅読猫  投稿日:2017年 3月26日(日)21時06分4秒
返信・引用
  三浦さんへ

>> a.選らんだ封筒("封筒a")の中身を確認していなければ、
>> 選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない。
>> つまり、最終的に 封筒a / 封筒b どちらを貰った方が得、ということはない。
>> b.選らんだ封筒の中身を確認したのならば、
>> 「期待値」に従って、選ばなかった封筒と交換するほうが25%得である。
>> つまり、最終的に 封筒b を貰った方が、封筒a を貰うよりも25%得である。
>>[はい]/[いいえ]
>> [いいえ]の場合、どこが違うかを述べてください。

> aとbそれぞれ別個に[はい]/[いいえ]で答えるわけですね。

それでもいいです。
a b どちらであれ、あなたの主張と異なる部分があれば、[いいえ]で
どこが違うか、書いてください。

> 質問の表現が曖昧なので答えにくいのですが、遅読猫さんの質問の意図さえわかれば答えるのは簡単です。

「曖昧」って、これのどこが。
「質問の意図」は書いてるでしょ。

> なので、質問の意図を知るために、遅読猫さん自身の答えを先に知りたいですね。
> それを聞いたら私もすぐ答えます。

私の答え

a.[はい]
b.[いいえ]

では、答えをお願いします。
 

問Rその他

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月26日(日)17時52分52秒
返信・引用
  > No.4600[元記事へ]

Sanさんへのお返事です。

>
> 再三書いてますが、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)と定義されています。
> ですのでAとBが事象として定義されていなければなりません。
>

 そんなことはないでしょう。
 P(6|赤)=P(赤&6)/P(赤)では、
 P(赤)は不明でいっこうにかまいませんでしたから。
 「赤」が事象として定義されていたとは言えません。根元事象として「赤&6」等は考える必要はなく、「6」等で十分だったはずです。
 根元事象をさらに細かく分類するような事情はいくらでも発生しえますが、それは事象を修飾する付帯状況と考えてよいはずです。

>
> 封筒問題ではB={X=10000}なので{X=10000}が事象として定義されていなければなりません。
> 根源事象が{X>Y}と{X<Y}だけでは、条件付確率P(X>Y|X=10000)を定義することすらできていません。
>

X=10000とX>Yが独立ならば、「赤」と同様「X=10000」も必要ない、と考えてよいですか。
もちろんSanさんは独立とは考えないわけですが。
主観確率の立場では、確率に関しては独立と考えるべきだと思います。(もちろん期待値とは独立ではありませんが)
そして、ベイズの定理を使う以上は、わかる限りで確率をどんどん改訂してゆけばよいので、主観確率を採用する権利はあるはずです。
(もちろん必ず採用すべきというわけではないが、完璧主義は不毛だというのは確率的思考の前提と言えます)。

>
{X=10000}={X=10000,Y=5000}∪{X=10000,Y=20000}なので
> 根源事象として少なくとも{X=10000,Y=5000},{X=10000,Y=20000}が必要です。
> さらに言えば開封前に根源事象を上の二つに限定するのは不自然極まりないので、すべての自然数(or 正の有理数)nに対して{X=n,Y=2n}と{X=2n,Y=n}が必要です。
>

 開封前に、「開封後の根元事象は「見るであろう金額を含む2種類のペア」に限定することになるだろう」と想定するのは自然です。

 どうしてもアンチ主観確率的完璧主義に固執されるのなら永久に平行線でしょうが、
 事前確率の設定を始めから諦めた思考は不毛だというのが私の信念なので(健全な信念だと思いますよ)、
 いちおう論を進めるために言い方を変えましょう。
 (以下、一言居士さんへの返答http://8044.teacup.com/miurat/bbs/4604の末尾と同じものです)
  ↓
 根元事象を<10000、5000> <10000、20000>にとる立場にこだわるならば、
 2封筒問題は、開封して初めて「事前確率」が決まった、と解釈できます。

 どんな問題においても、どこかで最初に事前確率が定められるので、
 その最初の時点が開封時の1万円目撃時、ということで何ら問題ないはずです。
 (たとえば「サイコロで6が出る確率は?」という問題では、そこで初めて事前確率が決まり、それを答えればおしまいです)
 主観確率は恣意的ではなく、ダッチブックの客観的背景がありますから、データと相対的・整合的に次々に決め直してゆけばいいはずです。

 もちろん、私が再三述べているように、「高額の方が選ばれた」「低額の方が選ばれた」を根元事象と考えれば、
 トリビアルなベイズ改訂により、事前確率1/2→事後確率1/2となって、「開封後に初めて事前確率1/2が決まった」などと考えるよりはるかに自然ですね。

> P(Y>X|X=7000)=P(Y>X,X=7000)/P(X=7000)=P(X=7000,Y=8000)/(P(X=7000,Y=8000)+P(X=7000,Y=9000))
> であり確率不明であるため、元の問題と同様「問題文の条件が不足している」が答えです。
>

 了解です。
 いわゆる期待値のパラドクスが生じない例においても、主観確率を拒むわけですね。
 2封筒問題の期待値25%増という結論を拒みたいがために(のみ)確率1/2を否定する人がしばしばいるので、Sanさんがその類いでないことを確認させていただいた次第です。

 しかし金額がわかっただけで事前の確率判断がすべて抹消されるとは、なんとも役に立たない確率ですね。ふつう、データが増えたことによって確率判断が不明確化することはないと思うのですが。ギャンブルのときの判断にはどう使うのでしょう。

 さて、申し訳ありませんが、Sanさんにもう一つ質問です。

●問R
 あなたは2つの封筒を提示された。互いに異なる金額が入っているという。
一方の封筒を開けると7000円入っていた。それが高額の方である確率は?
 

Re: (無題)

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月26日(日)17時42分36秒
返信・引用
  > No.4598[元記事へ]

遅読猫さんへのお返事です。


>
> 視点が違うだけで、問2と問1って、実際に行われることはおんなじじゃん。
> だったら、視点(主観)がどうあれ、実際(客観的)に行われる「実験」も同一じゃん。
>

 モンティホール問題の教訓が生きていませんかね……。
 問1と問2の区別がつかなくなりがちではあるが、区別がつかないのではなく、区別がつきづらいだけです。
 2封筒問題は、胴元の選択とプレイヤーの選択は互いに独立でありさえすればよいので、時間順序を逆にしても問題の構造は同じです。
たとえば、次のような問3、問4が考えられますね。(それぞれ問1、問2と同じ問題です)

●問3
 あなたは2つの封筒を提示された。あなたは左を選んだ。
 その後、別室にいる胴元はサイコロでxを決め、xと2xの金を用意し、左右の区別をコイン投げで決めてそれぞれ封入した。
 すでに選んであった左の封筒をあなたが開けると1万円入っていた。あなたはその1万円をもらうか、もう一方の封筒と交換するか、選ぶことができる。あなたの視点からして、どちらが得か。

●問4
 2つの封筒を提示されたプレイヤーが左の封筒を選んだ。そのあと、あなたはサイコロでxを決め、xと2xの金を用意し、左右の区別をコイン投げで決めてそれぞれ封入した。
 選択済みの左の封筒をプレイヤーが開けると1万円が出た。プレイヤーはその1万円をもらうか、もう一方の封筒と交換するか、選ぶことができる。あなたの視点からして、プレイヤーにとってどちらが得か。

 実験設定としてはたとえば、サイコロの目とxの対応は1→1250, 2→2500, 3→5000, 4→10000, 5→20000, 6→40000 とします。(遅読猫さんも私と同じく開封金額が大きい方である確率は1/2ということなので、実験の設定として開封金額の設定として10000円を選びました)

 2封筒問題は問3に相当します。
 10000が百万回ほど出そろったところで、集計してみてください。
 問3状況の必要十分条件を、遅読猫実験が({10000, 20000}に意図的に限定した実験が)満たしているでしょうか?
 プレイヤーの選択を先に、胴元の選択を後にして(ただし双方の選択は互いに独立)、{10000, 20000}に限定したプレイヤー視点の実験が可能かどうか、考えてみてください。

>
> a.選らんだ封筒("封筒a")の中身を確認していなければ、
> 選ばなかった封筒("封筒b")と交換しても/しなくても、どちらの方が得ということはない。
> つまり、最終的に 封筒a / 封筒b どちらを貰った方が得、ということはない。
> b.選らんだ封筒の中身を確認したのならば、
> 「期待値」に従って、選ばなかった封筒と交換するほうが25%得である。
> つまり、最終的に 封筒b を貰った方が、封筒a を貰うよりも25%得である。
>[はい]/[いいえ]
> [いいえ]の場合、どこが違うかを述べてください。
>

 aとbそれぞれ別個に[はい]/[いいえ]で答えるわけですね。
 質問の表現が曖昧なので答えにくいのですが、遅読猫さんの質問の意図さえわかれば答えるのは簡単です。
 なので、質問の意図を知るために、遅読猫さん自身の答えを先に知りたいですね。
 それを聞いたら私もすぐ答えます。
 

Re: 2封筒問題のトリック

 投稿者:φ  投稿日:2017年 3月26日(日)17時36分19秒
返信・引用
  > No.4597[元記事へ]

一言居士さんへのお返事です。

>
> 今までは、φさんのおっしゃる通り、理由不十分の原理より
> <10000、5000> であった確率1/2
> <10000、20000> であった確率1/2
> が当然と考えていましたが、
>

 ↑これは私の立場ではありません。
<10000、5000> であった確率、とは開封前の確率のことですね。そんな確率は永久にわかりません。
開封前に確率としてわかるのは、「選ぶ封筒が高額の方である確率は1/2」ですね。
「開封前に<10000、5000>は1/2」とは大違いです。

さて、
主観確率は、「信念の度合」を表わす。この前提を採用できない理由がわかりません。
ベイズの定理を使う以上、データが増えたことによって確率的判断が不確定化する、ということはありえないと思うのですが。
ましてや今回は、高額か低額かの事前確率が1/2なわけですし、それ以上の不明確さに逆戻りすることはありえないはずです。

ベイズでは信念の度合に従って確率を絞っていけばよいので(完璧主義は放棄しているので)、本当にまったくわからない場合は、可能な限り一様分布です。

>
> 胴元がどのように2封筒内の金額を設定したか全く不明なので
> aもbも0~1のいずれかとしか言えず(a+b=1)、交換による期待値は
> 結局、「わからない」が正解ではないでしょうか?
>

 「わからない」からこそ確率で答えを出そうというのであり、主観確率で「わからない」という答えはなるべく控えるべきです。
 開封前の<10000、5000><10000、20000>の確率については、
一様分布が仮定できないので確かに「わからない」が合理的ですが(「わからない」というより<10000、5000><10000、20000>を思いつかない、という方が正しい)、
 開封後には仮説がその二つに絞られているので、「わからない」からそれぞれ1/2、とするのは主観確率の常識でしょう。

 つまり、根元事象を<10000、5000> <10000、20000>にとる立場にこだわるならば、
 2封筒問題は、開封して初めて「事前確率」が決まった、と解釈できます。

 どんな問題においても、どこかで最初に事前確率が定められるので、
 その最初の時点が開封時の1万円目撃時、ということで何ら問題ないはずです。
 (たとえば「サイコロで6が出る確率は?」という問題では、そこで初めて事前確率が決まり、それを答えればおしまいです)
 主観確率は恣意的ではなく、ダッチブックの客観的背景がありますから、データと相対的・整合的に次々に決め直してゆけばいいはずです。

 もちろん、私が再三述べているように、「高額の方が選ばれた」「低額の方が選ばれた」を根元事象と考えれば、
 トリビアルなベイズ改訂により、事前確率1/2→事後確率1/2となって、「開封後に初めて事前確率1/2が決まった」などと考えるよりはるかに自然ですね。
 

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